Question

（2012•棗莊一模）設數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，對任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項．
（1）設b_n=a_n+1-a_n，證明數列{b_n}是等比數列，并求出其通項公式；
（2）寫出數列{a_n}的通項公式（不要求計算過程），令cn=

3

2

n(

5

3

-an)，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項，可得2a_n+2=a_n+1+a_n，由b_n=a_n+1-a_n，可得b_n+1=a_n+2-a_n+1=-

1

2

b_n，從而可得數列{b_n}是以1為首項，-

1

2

為公比的等比數列，可求通項公式；
（2）利用累加法可得數列{a_n}的通項公式，進而可得cn=

3

2

n(

5

3

-an)=n×(-

1

2

)n-1，利用錯位相減法可求數列{c_n}的前n項和．

解答：解：（1）∵a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項．
∴2a_n+2=a_n+1+a_n，
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1=

1

2

（a_n+1+a_n）-a_n+1=-

1

2

b_n，
∵a₁=1，a₂=2，
∴b₁=a₂-a₁=1
∴數列{b_n}是以1為首項，-

1

2

為公比的等比數列，通項公式為b_n=(-

1

2

)n-1；
（2）由（1）知，a_n+1-a_n=(-

1

2

)n-1
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+1+…+(-

1

2

)n-2=

5

3

-

2

3

×(-

1

2

)n-1
∴cn=

3

2

n(

5

3

-an)=n×(-

1

2

)n-1
∴S_n=1×(-

1

2

)1-1+2×(-

1

2

)2-1+…+n×(-

1

2

)n-1①
∴-

1

2

S_n=1×(-

1

2

)2-1+2×(-

1

2

)3-1+…+n×(-

1

2

)n②
①-②可得

3

2

S_n=1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1-n×(-

1

2

)n=

2

3

-

2

3

×(-

1

2

)n-n×(-

1

2

)n
∴數列{c_n}的前n項和S_n=

4

9

-

4

9

×(-

1

2

)n-

2

3

n×(-

1

2

)n．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明與通項，考查錯位相減法求數列的和，屬于中檔題．