Question

【題目】等邊的邊長為，點，分別是，上的點，且滿足 (如圖(1))，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，(如圖(2)).

(1)求證：平面；

(2)在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點，.

【解析】

（1）通過證明，即可證明平面；（2）以為坐標原點，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標系，設，然后并求出平面的一個法向量及的坐標，最后根據即可求出的值及的長度.

(1)證明　題圖(1)中，由已知可得：

，，.

從而.

故得，所以，.

所以題圖(2)中，，，

所以為二面角的平面角，

又二面角為直二面角，

所以，即，

因為且、平面，

所以平面.

(2)解　存在.由(1)知，平面.

以為坐標原點，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標系，如圖，

過作交于點，

設，則，，，

易知，，，

所以.

因為平面，

所以平面的一個法向量為.

因為直線與平面所成的角為，所以，解得.

所以，滿足，符合題意.

所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時.