Question

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是其左、右焦點，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若在直線上任取一點，從點向的外接圓引一條切線，切點為.問是否存在點，恒有？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) ，或

【解析】

（1）求出后可得橢圓的標準方程.

（2）先求出的外接圓的方程，設點為點為，則由可得對任意的恒成立，故可得關于的方程，從而求得的坐標.

解：（1）因為橢圓的離心率為，所以. ①

又橢圓過點，所以代入得. ②

又. ③

由①②③，解得.所以橢圓的標準方程為.

（2）由（1）得，，的坐標分別是.

因為的外接圓的圓心一定在邊的垂直平分線上，

即的外接圓的圓心一定在軸上，

所以可設的外接圓的圓心為，半徑為，圓心的坐標為，

則由及兩點間的距離公式，得，

解得.

所以圓心的坐標為，半徑，

所以的外接圓的方程為，即.

設點為點為，因為，

所以，

化簡，得，

所以，消去，得，

解得或.

當時，；

當時，.

所以存在點，或滿足條件.