Question

已知B（-1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，且點B到橢圓的兩個焦點距離之和為4；
（1）求橢圓方程；
（2）設A為橢圓的左頂點，直線AB交y軸于點C，過C作斜率為k的直線l交橢圓于D，E兩點，若

S△CBD

S△CAE

=

1

6

，求實數k的值．

Answer 1

分析：（1）利用點B到橢圓的兩個焦點距離之和為4，求出a的值，代入B的坐標，求出b的值，即可求出橢圓的方程；
（2）利用

S△CBD

S△CAE

=

1

6

，得出

|CD|

|CE|

=

1

3

，分類討論，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意，2a=4，∴a=2，
∵B（-1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，
∴

1

4

+

1

b2

=1
∴b2=

4

3

∴橢圓方程為

x2

4

+

3y2

4

=1
（2）由題意A（-2，0），B（-1，1），則AB的方程為y=x+2，
∴C（0，2），∴

|CB|

|CA|

=

1

2

∵

S△CBD

S△CAE

=

1

6

，∴

|CD|

|CE|

=

1

3

，
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則x₂=3x₁，
若CD斜率不存在，方程為x=0，D（0，

2

3

），E（0，-

2

3

），
∴

|CD|

|CE|

=

3 -1

3 +1

≠

1

3

，
若CD斜率存在，設y=kx+2，代入橢圓方程，得到（3k²+1）x²+12kx+8=0
∴x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

8

3k2+1

∵x₂=3x₁，
∴k=±

2 6

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．