Question

【題目】在平面直角坐標系內，動點到定點的距離與到定直線距離之比為．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設點是軌跡上兩個動點直線與軌跡的另一交點分別為且直線的斜率之積等于，問四邊形的面積是否為定值？請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）四邊形的面積為定值12.

【解析】

（Ⅰ）設，依題意可得，化簡即可得解；

（Ⅱ）設，，由，得，由點、在橢圓上，得，由此利用點到直線的距離公式、橢圓的對稱性，結合已知條件能求出四邊形的面積為定值．

解：（Ⅰ）設，依題意，，

化簡得，所以，動點的軌跡的方程為．

（Ⅱ）設，，則由斜率之積，得，

，因為點、在橢圓上，

所以，．化簡得．

直線的方程為，原點到直線的距離為．

所以，的面積，

根據橢圓的對稱性，四邊形的面積，

所以，，

所以

所以，四邊形的面積為定值12．