Question

本小題滿分12分)

已知函數f (x)=x³+ ax²－bx  (a, b∈R) .

(1)若y=f (x)圖象上的點(1，－)處的切線斜率為－4，求y=f (x)的極大值；

(2)若y=f (x)在區間[－1，2]上是單調減函數，求a + b的最小值.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)∵f ′(x)=x²+2ax－b ,

∴ 由題意可知：f ′(1)=－4且f (1)= －,

∴ 解得：…………………………2分

∴ f (x)=x³－x²－3x。

f ′(x)=x²－2x－3=（x+1）（x－3）.

令f ′(x)= 0，得x₁=－1，x₂=3，……………3分

    由此可知：

x	(－∞,－1)	－1	(－1, 3)	3	(3, +∞)
f ’(x)	+	0	－	0	+
f (x)	↗	f (x)極大5/3	↘	f (x) 極小	↗

∴ 當x=－1時, f (x)取極大值.  …………………………6分

(2) ∵y=f (x)在區間[－1，2]上是單調減函數，

∴f ′(x)=x²+2ax－b≤0在區間[－1，2]上恒成立.

根據二次函數圖象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：

也即…………………9分

作出不等式組表示的平面區域如圖：

當直線z=a+b經過交點P(－, 2)時，

z=a+b取得最小值z=－+2=,

∴z=a+b取得最小值為……………………12分

 

【解析】略