Question

【題目】如圖，在三棱錐P—ABC中，PA＝3，PB＝PC＝，AB＝AC＝2，BC＝．

（1）求二面角B—AP—C大小的余弦值；

（2）求點P到底面ABC的距離．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）兩三角形和三邊都相等，則兩三角形全等，過B向AP邊做垂線，過C向AP邊做垂線交于點D，那么就是要求的二面角，根據已知邊長和余弦定理可求出二面角大小的余弦值；（2）取中點，連結，，在平面中作，垂足為，根據直線和平面的位置關系，結合各邊的值以及余弦定理和正弦函數可得點P到底面ABC的距離。

解：（1）在中作，垂足為，

因為，，為公共邊，所以≌，又，所以，

所以為二面角的平面角；

又，所以，

故的面積，

所以，同理，

在中，，

所以，二面角大小的余弦值為．

（2）（法一）取中點，連結，，在平面中作，垂足為．

因為，所以．同理．

又，平面，平面，所以平面．

因為平面，所以．

又，，平面，平面，

所以平面，

因此，點到底面的距離即為的長；

在中，，

在中，，

在中，，

所以，，

在中，，

綜上，點到底面的距離為．

（法二）由（1）知，，又，，

所以，則，

在中，，，

故.

則.

在中，，，則.

設點到底面的距離為，則，故.