Question

給出以下五個命題：①任意n∈N^*，（n²-5n+5）²=1．
②已知x，y滿足條件

x≥0 y≤x 2x+y+k≤0

（k為常數），若z=x+3y的最大值為8，則k=-6．
③設全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，則C_U（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定義在R上的函數y=f（x）在區間（1，2）上存在唯一零點的充要條件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知△ABC所在平面內一點P（P與A，B，C都不重合）滿足

PA

+

PB

+

PC

=

BC

，則△ACP與△BCP的面積之比為2．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：舉出反例n=5易判斷①的對錯；利用線性規劃，易判斷②的對錯；根據集合的并集及補集運算，易判斷③的真假；根據連續函數零點存在定理，易判斷④的對錯；利用向量的加法法及其幾何意義，易判斷⑤的真假．進而得到答案．

解答：解：當n=5時，（n²-5n+5）²=25≠1，故①為假命題；
∵U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4}，B={3，6}，
∴C_U（A∪B）={1，2，5}≠{1，2，3，5，6}故③為假命題；
∵直線8=x+3y與直線x=y交于（2，2）點
將（2，2）點坐標代入2x+y+k=0
解得k=-6，故②正確；
若f（1）•f（2）＜0，則在區間（1，2）上函數y=f（x）至少存在一個零點，故④錯誤；
存在線段AB上靠近B的三等分點P滿足

PA

+

PB

+

PC

=

BC

，故⑤正確；
故答案為：②⑤

點評：本題考查的知識點是命題真假判斷與應用，其中利用舉反例，線性規劃，集合的運算，零點存在定理，向量的加減法及其幾何意義對各個結論的真假進行判斷是解答本題的關鍵．