【題目】如圖，已知橢圓
：
的離心率為
，過左焦點
且斜率為
的直線交橢圓于
兩點，線段
的中點為
，直線
：
交橢圓于
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：點在直線上；
（3）是否存在實數，使得
？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
【答案】（1）
（2）詳見解析（3）存在，且
【解析】
（1）根據離心率和焦點坐標列方程組，解方程組求得
的值，進而求得橢圓
的方程.（2）寫出直線
的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，求得中點
的坐標，將坐標代入直線
的方程，滿足方程，由此證得點在直線上.（3）由（2）知
到的距離相等，根據兩個三角形面積的關系，得到是
的中點，設出
點的坐標，聯立直線的方程和橢圓的方程，求得點的坐標，并由此求得
的值.
解：(1) 解：由
，解得
，
所以所求橢圓的標準方程為
（2）設
，
，
，
，消
得，
，
解得
將代入到
中，滿足方程
所以點在直線上.
（3）由（2）知到的距離相等，
若
的面積是
面積的3倍，得
，
有
，
∴是的中點，
設
，則
，
聯立
，解得
，
于是
解得
，所以.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】4月23日是“世界讀書日”，某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個小組中隨機抽取10名學生參加問卷調查.各組人數統計如下：
（1）從參加問卷調查的10名學生中隨機抽取兩名，求這兩名學生來自同一個小組的概率；
（2）在參加問卷調查的10名學生中，從來自甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取兩名，用
表示抽得甲組學生的人數，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
、
，直線
、
相交于點
，且它們的斜率之積為
，記動點
的軌跡為曲線
.
（Ⅰ）求曲線
的方程；
（Ⅱ）設直線
與曲線
交于
、
兩點，若直線
與
斜率之積為
，求證：直線
過定點，并求定點坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
＋
＝1(a>b>0)上的點P到左，右兩焦點F1，F2的距離之和為2
，離心率為
.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過右焦點F2的直線l交橢圓于A，B兩點，若y軸上一點M(0，
)滿足|MA|＝|MB|，求直線l的斜率k的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某年級的聯歡會上設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有3個紅球和7個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個球.
（1）設
表示摸出的紅球的個數，求
的分布列和數學期望；
（2）為了提高同學們參與游戲的積極性，參加游戲的同學每人可摸球兩次，每次摸球后放回，若規定兩次共摸出紅球的個數不少于
，且中獎概率大于60%時，即中獎，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
有極值，且函數
的極值點是
的極值點，其中
是自然對數的底數.（極值點是指函數取得極值時對應的自變量的值）
（1）求
關于
的函數關系式；
（2）當
時，若函數
的最小值為
，證明： 
.
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