Question

已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）設,證明：對任意,總存在,使得.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)在(1,2)單調遞減函數，f(x)在(2,+∞)單調遞增函數；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、不等式等基礎知識，考查函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，先對求導，而分子還比較復雜，所以對分子進行二次求導，導數非負，所以分子所對函數為增函數，而，所以在上，在上，所以在為負值，在上為正值，所以得出的單調性；第二問，先對已知進行轉化，轉化為恒成立，而，即轉化為恒成立，再次轉化為，通過求導判斷函數的單調性，判斷的正負.

試題解析：（1）       1分

設,

∴在是增函數，又                      3分

∴當時,  ,則,是單調遞減函數;

當時,  ,則,是單調遞增函數.

綜上知：在單調遞減函數，

在單調遞增函數                    6分

（2）對任意，總存在,使得恒成立

等價于恒成立,而,即證恒成立.等價于,

也就是證                               8分

設,              10分

∴在單調遞增函數,又

∴當時,,則

當時,,則

綜上可得：對任意,總存在,

使得.                                12分

考點：1.利用導數判斷函數的單調性；2.恒成立問題.