Question

【題目】已知圓心在直線上的圓C經過點，且與直線相切.

（1）求過點P且被圓C截得的弦長等于4的直線方程；

（2）過點P作兩條相異的直線分別與圓C交于A，B，若直線PA，PB的傾斜角互補，試判斷直線AB與OP的位置關系（O為坐標原點），并證明.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）平行

【解析】

（1）設出圓的圓心為，半徑為，可得圓的標準方程，根據題意可得，解出即可得出圓的方程，討論過點P的直線斜率存在與否，再根據點到直線的距離公式即可求解.

（2）由題意知，直線PA，PB的傾斜角互補，分類討論兩直線的斜率存在與否，當斜率均存在時，則直線PA的方程為：，直線PB的方程為：，分別與圓C聯立可得，利用斜率的計算公式與作比較即可.

（1）根據題意，不妨設圓C的圓心為，半徑為，

則圓C，

由圓C經過點，且與直線相切，

則，解得，

故圓C的方程為：，所以點在圓上，

過點P且被圓C截得的弦長等于4的直線，

當直線的斜率不存在時，直線為： ，滿足題意；

當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，

直線方程為：，故，

解得，故直線方程為：.

綜上所述：所求直線的方程：或.

（2）由題意知，直線PA，PB的傾斜角互補，且直線PA，PB的斜率均存在，

設兩直線的傾斜角為和，

，，因為，

由正切的性質，則，

不妨設直線的斜率為，則PB的斜率為，

即：，則：，

由，得，

點的橫坐標為一定是該方程的解，故可得，

同理，，

，

,

直線AB與OP平行.