Question

已知拋物線：經過橢圓：的兩個焦點.

(1) 求橢圓的離心率；
(2) 設，又為與不在軸上的兩個交點，若的重心在拋物線上，求和的方程.

Answer 1

 

拋物線的方程為：，
橢圓的方程為：.

考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認方程。
解：（1）因為拋物線經過橢圓的兩個焦點，
所以，即，由得橢圓的離心率.
（2）由（1）可知，橢圓的方程為：
   
聯立拋物線的方程得：，
解得：或（舍去），所以 ，
即，所以的重心坐標為.
因為重心在上，所以，得.所以.
所以拋物線的方程為：，
橢圓的方程為：.