Question

【題目】已知函數

（1）求證：

（2）若函數的圖象與直線沒有交點，求實數的取值范圍；

（3）若函數，則是否存在實數，使得的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據，結合對數運算法則整理即可；

（2）函數的圖象與直線沒有交點，可轉化為方程無解，進而轉為函數的圖象與直線y=a無交點，即可求出結果；

（3）先將化簡整理，再由換元法處理即可.

（1）證明：；

（2）若函數的圖象與直線沒有交點，

則方程無解，即方程無解．

令，

則在上是單調減函數，又，所以，

因為函數的圖象與直線y=a無交點

；

（3）由題意函數 ，

令，則，，

函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，

故當，即時，當時，函數取最小值，解得：，

當，即時，當時，函數取最小值，解得：（舍去），

當，即時，當時，函數取最小值，解得：（舍去），

綜上所述，存在滿足條件．