Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BD⊥平面PAC，只需證明BD垂直平面PAC內的兩條相交直線PA，AC即可．
（Ⅱ）過E作EF⊥PC，垂足為F，連接DF，說明∠EFD為二面角A-PC-D的平面角，推出Rt△EFC∽Rt△PAC，通過解Rt△EFD，求二面角A-PC-D的大小．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．∴BD⊥PA．
又tanABD=

AD

AB

=

3

3

，tanBAC=

BC

AB

=

3

．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC
（Ⅱ）過E作EF⊥PC，垂足為F，連接DF．
∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂線定理知PC⊥DF，∴∠EFD為二面角A-PC-D的平面角．
又∠DAC=90°-∠BAC=30°，
∴DE=ADsinDAC=1，AE=ABsinABE=

3

，
又AC=4

3

，∴EC=3

3

，PC=8．
由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF=

PA•EC

PC

=

3 3

2

．
在Rt△EFD中，tanEFD=

DE

EF

=

2 3

9

，∴∠EFD=arctan

2 3

9

．
∴二面角A-PC-D的大小為arctan

2 3

9

．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，空間想象能力，計算能力，是中檔題．