Question

【題目】已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是________

Answer 1

【答案】

【解析】

解法一：先求得直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（﹣，0），由﹣≤0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b=；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得＜b＜； ③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得結(jié)果．

解法二：考查臨界位置時(shí)對(duì)應(yīng)的b值，綜合可得結(jié)論．

解法一：由題意可得，三角形ABC的面積為 =1，

由于直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（﹣，0），

由直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，

故﹣≤0，故點(diǎn)M在射線OA上．

設(shè)直線y=ax+b和BC的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）．

①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N（，），

把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=ax+b，求得a=b=．

②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，此時(shí)b＞，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，

由題意可得三角形NMB的面積等于，

即=，即 =，可得a=＞0，求得 b＜，

故有＜b＜．

③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則b＜，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)﹣＜﹣1，求得b＞a．

設(shè)直線y=ax+b和AC的交點(diǎn)為P，則由 求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即 （1﹣b）|xN﹣xP|=，

即（1﹣b）|﹣|=，化簡可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．

由于此時(shí) b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．

兩邊開方可得 （1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化簡可得 b＞1﹣，

故有1﹣＜b＜．

再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得b的取值范圍應(yīng)是 ，

解法二：當(dāng)a=0時(shí)，直線y=ax+b（a＞0）平行于AB邊，

由題意根據(jù)三角形相似且面積比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趨于最小．

由于a＞0，∴b＞1﹣．

當(dāng)a逐漸變大時(shí)，b也逐漸變大，

當(dāng)b=時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)（0，），再根據(jù)直線平分△ABC的面積，故a不存在，故b＜．

綜上可得，1﹣＜b＜，

故答案為：．