Question

【題目】如圖①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.現以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖②.

(1)求證：AM∥平面BEC；

(2)求點D到平面BEC的距離．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】

取EC的中點為N，連接MN，BN,利用中位線可知四邊形ABNM為平行四邊形，可得BN∥AM，由線面平行的判定定理即可證明(2)根據又VE－BCD＝VD－BCE，由等體積法求出點到面的距離即可.

證明：取EC的中點為N，連接MN，BN.

在△EDC中，M，N分別為ED，EC的中點，所以MN∥CD，且MN＝CD.由已知AB∥CD，AB＝CD，得MN∥AB，且MN＝AB.故四邊形ABNM為平行四邊形，因此BN∥AM.

又因為BN平面BEC，且AM平面BEC，所以AM∥平面BEC.

(2)解：由已知得BC⊥BD，BC⊥DE，又BD∩DE＝D，所以BC⊥平面BDE.而BE平面BDE，所以BC⊥BE.

故S△BCE＝BE·BC＝××＝.

S△BCD＝BD·BC＝××＝1.

又VE－BCD＝VD－BCE，設點D到平面BEC的距離為h，

則S△BCD·DE＝S△BCE·h，所以h＝＝.