Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，過(guò)點(diǎn)C的直線VC垂直于平面ABC，D、E分別為線段VA、VC上異于端點(diǎn)的點(diǎn)．
（1）當(dāng)DE⊥平面VBC時(shí)，判斷直線DE與平面ABC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)D、E、F分別為線段VA、VC、AB上的中點(diǎn)，且VC=2BC時(shí)，求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：DE∥平面ABC．

∵VC平面VBC，DE⊥平面VBC，

∴DE⊥VC，

∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，

∵DE⊥VC，VC⊥AC，∴DE∥AC，

∵DE平面ABC，AC平面ABC，

∴DE∥平面ABC；

（2）解：∵DE⊥平面VBC，∴DE⊥BE，DE⊥VB，

∵D，F(xiàn)分別為VA，AB的中點(diǎn)，

∴DF∥VB，∴DE⊥DF，

∴BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小．

∵VC=2BC，∴VE=BC，VB= BC，∴BE= BC，

∴cos∠VBE= = ，

∴二面角B﹣DE﹣F的余弦值為 ．

【解析】（1）證明DE∥AC，即可判斷直線DE與平面ABC的位置關(guān)系；（2）BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小，利用余弦定理，即可求解．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解空間中直線與平面之間的位置關(guān)系(直線在平面內(nèi)—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；直線與平面相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線在平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn))．