Question

設定義在R上的偶函數f（x）在（-∞，0）上為增函數，且f（-1）=0，則不等式x[f（x）+f（-x）]＜0的解集為

（-1，0）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據偶函數在對稱區間上單調性相反，結合已知可判斷出函數f（x）的單調性，進而判斷出各區間上函數值的符號，進而求出不等式x[f（x）+f（-x）]＜0的解集．

解答：解：∵定義在R上的偶函數f（x）在（-∞，0）上為增函數，
故函數f（x）在（0，+∞）上為減函數，
又∵f（-1）=0，
∴f（1）=0，
當x∈（-∞，-1）時，-x∈（1，+∞），此時f（x）+f（-x）＜0，x[f（x）+f（-x）]＞0
當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），此時f（x）+f（-x）＞0，x[f（x）+f（-x）]＜0
當x∈（0，1）時，-x∈（-1，0），此時f（x）+f（-x）＞0，x[f（x）+f（-x）]＞0
當x∈（1，+∞）時，-x∈（-∞，-1），此時f（x）+f（-x）＜0，x[f（x）+f（-x）]＜0
綜上不等式x[f（x）+f（-x）]＜0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性與函數的單調性，根據偶函數在對稱區間上單調性相反，判斷出函數f（x）的單調性，是解答的關鍵．