Question

【題目】已知定義在[1，+∞）上的函數f（x）= 給出下列結論：
①函數f（x）的值域為（0，8]；
②對任意的n∈N，都有f（2n）=23﹣n；
③存在k∈（ ， ），使得直線y=kx與函數y=f（x）的圖象有5個公共點；
④“函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在n∈N，使得（a，b）（2n ， 2n+1）”
其中正確命題的序號是（ ）
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①當1≤x＜2時，f（x）=﹣8x（x﹣2）=﹣8（x﹣1）2+8∈（0，8]，
②∵f（1）=8，∴f（2n）= f（2n﹣1）= f（2n﹣2）= f（2n﹣3）=…= f（20）= f（1）= ×8=23﹣n ， 故②正確，③當x≥2時，f（x）= f（ ）∈0，4]，故函數f（x）的值域為（0，8]；故①正確，當2≤x＜4時，1≤ ＜2，則f（x）= f（ ）= [﹣8（ ﹣1）2+8]=﹣4（ ﹣1）2+4，當4≤x＜8時，2≤ ＜4，則f（x）= f（ ）= [﹣4（ ﹣1）2+4]=﹣2（ ﹣1）2+2，作出函數f（x）的圖象如圖：作出y= x和y= x的圖象如圖，當k∈（ ， ），使得直線y=kx與函數y=f（x）的圖象有3個公共點；故③錯誤，④由分段函數的表達式得當x∈（2n ， 2n+1）時，函數f（x）在（2n ， 2n+1）上為單調遞減函數，則函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在n∈N，使得（a，b）（2n ， 2n+1）”為真命題，故④正確，故選：C

【考點精析】關于本題考查的命題的真假判斷與應用，需要了解兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能得出正確答案．