Question

【題目】如圖，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均為正三角形，E為AB的中點(diǎn).

（1）證明:平面，

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）如圖，連接，交于點(diǎn)M，連接ME，則，再利用線(xiàn)面平行的判定定理，即可證明線(xiàn)面平行；

（2）設(shè)O是AC的中點(diǎn)，連接，OB，分別以射線(xiàn)OB，OA，的方向?yàn)?/span>x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，代入公式運(yùn)算，即可得答案.

（1）如圖，連接，交于點(diǎn)M，連接ME，則.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（2）設(shè)O是AC的中點(diǎn)，連接，OB.因?yàn)?/span>為正三角形，

所以，又平面平面，平面平面，

所以平面ABC.由已知得.

如圖，分別以射線(xiàn)OB，OA，的方向?yàn)?/span>x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，

故，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

所以令，則.

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，

則，

故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.