Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣1+ （a∈R，e為自然對數的底數）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求函數f（x）的極值；
（3）當a=1的值時，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x﹣1+ ，得f′（x）=1﹣ ，

又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，

∴f′（1）=0，即1﹣ =0，解得a=e．

（2）解：f′（x）=1﹣ ，

①當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）為（﹣∞，+∞）上的增函數，所以f（x）無極值；

②當a＞0時，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，

x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；

∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，

故f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值．

綜上，當a≤0時，f（x）無極值；當a＞0時，f（x）在x=lna處取到極小值lna，無極大值．

（3）解：當a=1時，f（x）=x﹣1+ ，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，

則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，

等價于方程g（x）=0在R上沒有實數解．

假設k＞1，此時g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，

又函數g（x）的圖象連續不斷，由零點存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，

與“方程g（x）=0在R上沒有實數解”矛盾，故k≤1．

又k=1時，g（x）= ＞0，知方程g（x）=0在R上沒有實數解，

所以k的最大值為1．

【解析】（1）依題意，f′（1）=0，從而可求得a的值；（2）f′（x）=1﹣ ，分①a≤0時②a＞0討論，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，從而可求其極值；（3）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點方程g（x）=0在R上沒有實數解，分k＞1與k≤1討論即可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．