Question

(12分)已知函數f(x)＝ (a，b為常數，且a≠0)，滿足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一實數解，求函數f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．

Answer 1

f(x)＝，f[f(－4)]＝.

本試題主要是考查了函數的 解析式的求解和運用。先分析f(x)＝且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一實數解．
∴ax²＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一實數解．
故(b－1)²－4a×0＝0，即b＝1，進而得到a的值，得到解析式，并求解函數值。
解：∵f(x)＝且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一實數解．
∴ax²＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一實數解．
故(b－1)²－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：
a＝，從而f(x)＝＝，
∴f(－4)＝＝4，f(4)＝＝，即f[f(－4)]＝.