Question

（2012•成都一模）在用數學歸納法證明f（n）=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

＜1（n∈N^*，n≥3）的過程中：假設當n=k（k∈N^*，k≥3）時，不等式f（k）＜1成立，則需證當n=k+1時，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）=f（k）+g（k），則g（k）=（　　）

• A．

  1

  2k+1

  +

  1

  2k+2

• B．

  1

  2k+1

  +

  1

  2k+2

  -

  1

  k

• C．

  1

  2k+2

  -

  1

  k

• D．

  1

  2k+2

  -

  1

  2k

Answer 1

分析：根據f（n）=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

，可知f（k）=

1

k

+

1

k+1

+…+

1

2k

，f（k+1）=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

，從而可得n=k到n=k+1變化了的項．

解答：解：∵f（k）=

1

k

+

1

k+1

+…+

1

2k

，f（k+1）=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

∴f（k+1）-f（k）=

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k

∵f（k+1）=f（k）+g（k），
∴g（k）=

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k

　
故選B．

點評：本題考查數學歸納法，考查數學歸納法中的推理，確定n=k到n=k+1變化了的項是解題的關鍵．