Question

【題目】如圖，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．

（1）證明：AC⊥B1D；
（2）求直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥BB1，

又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D內的相交直線

∴AC⊥平面BB1D，

∵B1D平面BB1D，∴AC⊥B1D；

（2）解：∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，

由此可得：直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成

的角（記為θ），連接A1D，

∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，

∴B1A1⊥平面A1D1DA，結合AD1平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1

又∵AD=AA1=3，∴四邊形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D

∵B1A1、A1D是平面A1B1D內的相交直線，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，

由（1）知AC⊥B1D，結合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，從而得到∠ADB1=90°﹣θ，

∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，從而得到Rt△ABC∽Rt△DAB

因此， ，可得AB= =

連接AB1，可得△AB1D是直角三角形，

∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=

在Rt△AB1D中，cos∠ADB1= = = ，

即cos（90°﹣θ）=sinθ= ，可得直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）根據直棱柱性質，得BB1⊥平面ABCD，從而AC⊥BB1 ， 結合BB1∩BD=B，證出AC⊥平面BB1D，從而得到AC⊥B1D；（2）根據題意得AD∥B1C1 ， 可得直線B1C1與平面ACD1所成的角即為直線AD與平面ACD1所成的角．連接A1D，利用線面垂直的性質與判定證出AD1⊥平面A1B1D，從而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1 ， 從而得到∠ADB1與AD與平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根據Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB= ，最后在Rt△AB1D中算出B1D= ，可得cos∠ADB1= ，由此即可得出直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．