Question

橢圓C₁的焦點在x軸上，中心是坐標原點O，且與橢圓C2：

x2

12

+

y2

4

=1的離心率相同，長軸長是C₂長軸長的一半．A（3，1）為C₂上一點，OA交C₁于P點，P關于x軸的對稱點為Q點，過A作C₂的兩條互相垂直的動弦AB，AC，分別交C₂于B，C兩點，如圖．

（1）求橢圓C₁的標準方程；
（2）求Q點坐標；
（3）求證：B，Q，C三點共線．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C2：

x2

12

+

y2

4

=1可知：長軸長為4

3

，離心率是

6

3

，進而得到橢圓C₁的a，b，c．
（2）由點A（3，1）可得直線OA：y=

1

3

x．與橢圓方程聯立即可得出點P的坐標，再根據對稱性即可得出點Q的坐標；
（3）分AC⊥x軸時，與直線AC的斜率垂直時兩種情況討論．只要證明k_BQ=k_QC即可．

解答：解：（1）由橢圓C2：

x2

12

+

y2

4

=1可知：長軸長為4

3

，離心率是

6

3

，
∴橢圓C₁：a=

3

，c=

2

，b²=a²-c²=1，
∴橢圓C₁的標準方程為

x2

3

+y2=1．
（2）∵A（3，1）可得直線OA：y=

1

3

x．
聯立

y= 1 3 x x2+3y2=3

解得第一象限P(

3

2

，

1

2

)，可得Q(

3

2

，-

1

2

)．
（3）當AB∥x軸時，AC⊥x軸，可得B（-3，1），C（3，-1）．
∴

QC

=(

3

2

，-

1

2

)，

QB

=(-

9

2

，

3

2

)，
∴

QB

=-3

QC

，∴B，Q，C三點共線．
當直線AC存在斜率時，可設直線AC：y-1=k（x-3），化為y=kx+1-3k，
聯立

y=kx+1-3k x2+3y2=12

，消去y得到（3k²+1）x²+6k（1-3k）x+9（3k²-2k-1）=0，
得x_C=

9k2-6k-3

3k2+1

，y_C=kx_C+1-3k=

-3k2-6k+1

3k2+1

．
得kCQ=

-3k2-6k+1 3k2+1 + 1 2

9k2-6k-3 3k2+1 - 3 2

=

-k2-4k+1

3k2-4k-3

．
同理，以-

1

k

代替上式中的k，得k_BQ=

-(- 1 k )2-4(- 1 k )+1

3(- 1 k )2-4(- 1 k )-3

=

-k2-4k+1

3k2-4k-3

，
∴k_CQ=k_BQ，即Q，B，C三點共線，
綜上可知：Q，B，C三點共線．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到交點坐標、對稱問題、三點共線問題等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．