Question

設有函數f(x)=

-x2-4x

和g(x)=

4

3

x+1+a，已知x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），則實數a的取值范圍是

a≥

13

3

．

Answer 1

分析：已知x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），對其進行移項，利用常數分離法，可以得出a大于等于一個新函數，求出這個新函數的最大值即可；

解答：解：∵函數f(x)=

-x2-4x

和g(x)=

4

3

x+1+a，已知x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），
∴

-x2-4x

≤

4

3

x+1+a，
∴a≥

-x2-4x

-

4

3

x-1，
令h（x）=

-x2-4x

-

4

3

x-1，求出h（x）的最大值即可，
∵

-x2-4x

≥0，（-4≤x≤0），y=-

4

3

x-1在[-4，0]上為減函數，
∴當x=-4時，h（x）取得最大值，h_max（x）=h（-4）=

16

3

-1=

13

3

，
∴a≥

13

3

，
故答案為：a≥

13

3

；

點評：此題考查函數的恒成立問題，解決此題的關鍵是利用常數分離法，分離出a的范圍，轉化為求函數的最值問題；