Question

【題目】已知函數，.

（1）設函數，討論的單調性；

（2）設函數，若的圖象與的圖象有，兩個不同的交點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求出的表達式并求導，分類討論的單調性；（2）由題意可得有兩個不同的根，則①，②， 消去參數得，構造函數求導研究函數單調性并利用放縮法推出，再次構造函數，通過證明來證明.

（1），定義域為，

.

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

當時，令，得，所以在，上單調遞增；

令，得，所以在上單調遞減.

當時，，在上單調遞增.

當時，令，得，所以在，上單調遞增；

令，得，所以在上單調遞減.

（2），

因為函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，

所以關于的方程，即有兩個不同的根.

由題知①，②，

①+②得③，

②-①得④.

由③，④得，不妨設，記.

令，則，

所以在上單調遞增，所以，

則，即，所以.

因為

所以，即.

令，則在上單調遞增.

又，所以，

即，所以.

兩邊同時取對數可得，得證.