Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ ．
（1）若函數f（x）在定義域內不單調，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）在區間（0，1]內單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）若x1、x2∈R+ ， 且x1≤x2 ， 求證：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）= ，

∵函數f（x）在定義域內不單調，

∴方程x2+（4﹣3a）x+4=0有大于0的實數根，

∵函數y=x2+（4﹣3a）x+4的圖象經過點（0，4），

∴ ，∴a＞

（2）解：∵函數f（x）在區間（0，1]內單調遞增，

∴x2+（4﹣3a）x+4≥0在區間（0，1]內恒成立，

即3a≤ +x+4在區間（0，1]內恒成立，

∵y= +x+4在x=1時取得最小值9，

∴a≤3

（3）證明：x1=x2，不等式顯然成立；

x1≠x2，只要證明ln ≤ ，

令t= ∈（0，1），則只要證明lnt﹣ ≤0即可，

由（2）可得f（x）=lnx﹣ 在（0，1]上是增函數，

∴f（x）≤f（1）=0，

∴lnt﹣ ≤0，∴不等式成立

【解析】（1）求導數，利用函數f（x）在定義域內不單調，得到方程x2+（4﹣3a）x+4=0有大于0的實數根，即可求實數a的取值范圍；（2）若函數f（x）在區間（0，1]內單調遞增，x2+（4﹣3a）x+4≥0在區間（0，1]內恒成立，分離參數，求最值，即可求實數a的取值范圍；（3）利用分析法進行證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．