Question

（2012•北京模擬）在數列{a_n}中，a1=

3

，an+1=

1+ a 2 n -1

an

(n∈N*)．數列{b_n}滿足0＜bn＜

π

2

，且 a_n=tanb_n（n∈N^*）．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求數列{b_n}的通項公式；
（3）設數列{b_n}的前n項和為S_n．若對于任意的n∈N^*，不等式Sn≥(-1)nλbn恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}中，a1=

3

，an+1=

1+ a 2 n -1

an

(n∈N*)．數列{b_n}滿足0＜bn＜

π

2

，且 a_n=tanb_n（n∈N^*）．易得b1=

π

3

，b2=

π

6

．
（2）由an+1=

1+ a 2 n -1

an

，a_n=tanb_n，結合同角三角函數關系，可得 tanbn+1=tan

bn

2

，進而確定數列{b_n}的首項和公比，代入等比數列通項公式，可得答案．
（3）由（2）中數列的通項，求出數列的前n項和，分n是奇數和n是偶數兩種情況進行討論，綜合討論結果可得答案．

解答：解：（1）依題意得 a1=

3

，a2=

1+ a 2 1 -1

a1

=

3

3

，
又 a₁=tanb₁，a₂=tanb₂，且 b1， b2∈(0，

π

2

)，
所以 b1=

π

3

，b2=

π

6

．
（2）因為 an+1=

1+ a 2 n -1

an

，a_n=tanb_n，且 0＜bn＜

π

2

，
所以 an+1=

1+tan2bn -1

tanbn

=

1 cosbn -1

sinbn cosbn

=

1-cosbn

sinbn

=

2sin2 bn 2

2sin bn 2 cos bn 2

=tan

bn

2

．
所以 tanbn+1=tan

bn

2

．
所以 bn+1=

bn

2

（n∈N^*）．
因此數列{b_n}是首項為

π

3

，公比為

1

2

的等比數列．
所以 bn=

π

3

(

1

2

)n-1．
（3）由 bn=

π

3

(

1

2

)n-1，得 Sn=

π

3

[2-(

1

2

)n-1]．
由Sn≥(-1)nλbn，得 （-1）ⁿλ≤2ⁿ-1．
①當n是奇數時，λ≥1-2ⁿ．
由于上式對正奇數恒成立，故 λ≥-1．
所以，當n是奇數時，λ≥-1．
②當n是偶數時，λ≤2ⁿ-1．
由于上式對正偶數恒成立，故 λ≤3．
所以，當n是偶數時，λ≤3．

點評：二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正切函數在區間(-

π

2

，

π

2

)上的性質，等比數列的概念，等比數列的通項公式