Question

【題目】如圖，是拋物線的焦點，過點且與坐標軸不垂直的直線交拋物線于、兩點，交拋物線的準線于點，其中，．過點作軸的垂線交拋物線于點，直線交拋物線于點.

（1）求的值；

（2）求四邊形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯立，消去，得到關于的二次方程，利用韋達定理結合可求出正數的值；

（2）由直線與坐標軸不垂直，所以設方程為，并設點，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，并求出，求出點的坐標，可得出點的坐標，并可得出直線的方程，將該直線方程與拋物線的方程聯立，利用韋達定理得出點的坐標，并分別計算出點、到直線的距離、，利用三角形的面積公式可得出關于的表達式，設，構造函數，利用導數求出函數的最小值，即可得出的最小值.

（1）設方程為，與聯立，消去整理得，

所以，得（舍去）或；

（2）由（1）知拋物線方程為，，準線方程為.

因為直線與坐標軸不垂直，所以設方程為，，

由得，，，

所以，

令，則，所以，，

直線的方程為，由得，

所以，，代入，得，所以.

到直線的距離為，到直線的距離為，

所以四邊形的面積，

令，則，令，則.

當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增.

所以，當時，有最小值，

因此，四邊形的面積的最小值為.