Question

【題目】已知函數f（x）=|x|+|x﹣1|．
（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求實數m的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，正實數a，b滿足a2+b2=M，證明：a+b≥2ab．

Answer 1

【答案】解：（ I）由已知可得 ，
所以fmin（x）=1，
所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，
所以實數m的最大值M=2
（ II）法一：綜合法
∴ab≤1∴ ，當且僅當a=b時取等號，①
又∴ ∴ ，當且僅當a=b時取等號，②
由①②得，∴ ，所以a+b≥2ab
法二：分析法因為a＞0，b＞0，
所以要證a+b≥2ab，只需證（a+b）2≥4a2b2 ，
即證a2+b2+2ab≥4a2b2 ，
， 所以只要證2+2ab≥4a2b2 ，
即證2（ab）2﹣ab﹣1≤0，
即證（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因為2ab+1＞0，所以只需證ab≤1，
下證ab≤1，
因為2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab
【解析】（ I）求出函數的解析式，然后求解函數的最小值，通過|m﹣1|≤1，求解m的范圍，得到m的最大值M．（ II）法一：綜合法，利用基本不等式證明即可．法二：利用分析法，證明不等式成立的充分條件即可．