【題目】（某工廠生產零件A，工人甲生產一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為
，工人乙生產一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為
．己知生產一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠帶來的效益分別為10元、5元、2元.
（1）試根據生產一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術的好壞；
（2）為鼓勵工人提高技術，工廠進行技術大賽，最后甲乙兩人進入了決賽．決賽規則是：每一輪比賽，甲乙各生產一件零件A，如果一方生產的零件A品級優干另一方生產的零件，則該方得分1分，另一方得分-1分，如果兩人生產的零件A品級一樣，則兩方都不得分，當一方總分為4分時，比賽結束，該方獲勝．Pi+4（i=
4，3，2，…，4）表示甲總分為i時，最終甲獲勝的概率．
①寫出P0，P8的值；
②求決賽甲獲勝的概率．
【答案】（1）乙的技術更好，見解析（2）①
，
；②
【解析】
（1）列出分布列，求出期望，比較大小即可；
（2）①直接根據概率的意義可得P0，P8；②設每輪比賽甲得分為
，求出每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得
分的概率，可的
，可推出
是等差數列，根據
可得答案.
（1）記甲乙各生產一件零件給工廠帶來的效益分別為元、
元，
隨機變量，的分布列分別為
| 10 | 5 | 2 |
|
|
|
|
| 10 | 5 | 2 |
|
|
|
|
所以
，
，
所以
，即乙的技術更好
（2）①
表示的是甲得
分時，甲最終獲勝的概率，所以，
表示的是甲得4分時，甲最終獲勝的概率，所以；
②設每輪比賽甲得分為，則
每輪比賽甲得1分的概率
，
甲得0分的概率
，
甲得分的概率
，
所以甲得
時，最終獲勝有以下三種情況：
（1）下一輪得1分并最終獲勝，概率為
；
（2）下一輪得0分并最終獲勝，概率為
；
（3）下一輪得分并最終獲勝，概率為
；
所以
，
所以是等差數列，
則
，
即決賽甲獲勝的概率是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4－4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），直線
的參數方程為
（
為參數）.
（1）求和的直角坐標方程；
（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為
，求的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）解關于
的不等式：
；
（2）當
時，過點
是否存在函數
圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在,說明理由；
（3）若
是使
恒成立的最小值，試比較
與
的大小（
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近年來，隨著我國汽車消費水平的提高，二手車流通行業得到迅猛發展．某汽車交易市場對2017年成交的二手車交易前的使用時間（以下簡稱“使用時間”）進行統計，得到頻率分布直方圖如圖1．
圖1 圖2
（1）記“在
年成交的二手車中隨機選取一輛，該車的使用年限在
”為事件
，試估計的概率；
（2）根據該汽車交易市場的歷史資料，得到散點圖如圖2，其中
(單位：年)表示二手車的使用時間，
(單位：萬元)表示相應的二手車的平均交易價格．由散點圖看出，可采用
作為二手車平均交易價格關于其使用年限的回歸方程，相關數據如下表（表中
，
）：
①根據回歸方程類型及表中數據，建立關于的回歸方程；
②該汽車交易市場對使用8年以內(含8年)的二手車收取成交價格
的傭金，對使用時間8年以上(不含8年)的二手車收取成交價格
的傭金．在圖1對使用時間的分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值．若以2017年的數據作為決策依據，計算該汽車交易市場對成交的每輛車收取的平均傭金．
附注：①對于一組數據
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
；
②參考數據：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知平面向量
，
滿足：||＝2，||＝1．
（1）若（
2）（
）＝1，求的值；
（2）設向量，的夾角為θ．若存在t∈R，使得
，求cosθ的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，分別過橢圓
左、右焦點
的動直線
相交于
點，與橢圓
分別交于
與
不同四點，直線
的斜率
滿足
．已知當
與
軸重合時，
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在定點
，使得
為定值？若存在，求出點坐標并求出此定值；若不存在，說明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
和
.
【解析】試題分析：（1）當
與
軸重合時，
垂直于軸，得
,得
,
從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點，則
點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把
坐標化，可得
點的軌跡是橢圓，從而求得定點
和點
.
試題解析：
當與軸重合時，
, 即
,所以
垂直于軸，得
，
，, 得
,
橢圓
的方程為
.
焦點
坐標分別為
, 當直線
或斜率不存在時，點坐標為
或
;
當直線斜率存在時，設斜率分別為
, 設
由
, 得：
, 所以:
，
, 則：
. 同理：
, 因為
, 所以
, 即
, 由題意知
, 所以
， 設
，則
，即
，由當直線或斜率不存在時，點坐標為或也滿足此方程，所以點在橢圓
上.存在點和點，使得
為定值，定值為
.
考點：圓錐曲線的定義，性質，方程.
【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應用進行考查，第一問通過兩個特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問由題目分析如果存兩定點，則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關鍵是從這個角度出發，把
坐標化，求得點的軌跡方程是橢圓
，從而求得存在兩定點和點.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的極值；
（Ⅱ）若函數
的兩個零點為
，記
，證明：
．
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