Question

【題目】已知向量 =（cos2x， sinx）， =（1，cosx），函數f（x）=2 +m，且當x∈[0， ]時，f（x）的最小值為2．
（1）求m的值，并求f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）設函數g（x）=[f（x）2]﹣f（x），x∈[0， ]，求g（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（cos2x， sinx）， =（1，cosx），

∴f（x）=2 +m

=2cos2x+2 sinxcosx+m

=cos2x+ sin2x+m+1

=2sin（2x+ ）+m+1，

又x∈[0， ]，

∴sin（2x+ ）∈[ ，1]，

∴f（x）的最小值為m+2=2，解得m=0；

∴f（x）=2sin（2x+ ）+1；

令2x+ =kπ+ ，k∈Z，

得f（x）圖象的對稱軸方程為x= + ，k∈Z；

（2）解：由（1）知x∈[0， ]時，

sin（2x+ ）∈[ ，1]，f（x）∈[2，3]；

設f（x）=t，則y=g（t）=t2﹣t，t∈[2，3]，

∴t=3時y取得最大值6；

即函數g（x）的最大值為6．

【解析】（1）根據平面向量數量積的坐標運算，利用三角恒等變換公式，即可求出結果；（2）求出f（x）的值域，再用換元法計算設f（x）=t，求y=g（t）的最大值即可．