Question

拋物線y=b（

x

a

）²、x軸及直線AB：x=a圍成了如圖（1）的陰影部分，AB與x軸交于點A，把線段OA分成n等份，作以

a

n

為底的內接矩形如圖（2），陰影部分的面積為S等于這些內接矩形面積之和當n→∞時的極限值，求S．

Answer 1

分析：首先分析題目把陰影部分分成n個小矩形，當n→∞時這些內接矩形面積之和的極限值為陰影部分面積，又已知內接矩形的底和高，故可以列出內接矩形的面積和，然后化簡求得極限即可得到答案．

解答：解：因為把線段OA分成n等份，作以

a

n

為底的內接矩形，
所以S=

lim

n→∞

[b•（

1

n

）²+b•（

2

n

）²+b•（

3

n

）²++b•（

n-1

n

）²]²•

a

n

=

lim

n→∞

12+22++(n-1 ) 2

n3

•ab
=

lim

n→∞

(n-1)•n•(2n-1)

6n3

•ab
=

1

3

ab．

點評：此題主要考查極限及其運算問題，題目看似較復雜，但考查的都是基本的內容．求出內接矩形面積之和是解題的關鍵，有一定的計算量屬于中檔題目．