Question

【題目】已知橢圓：，過點且與軸不重合的直線與相交于兩點，點，直線與直線交于點.

（1）當垂直于軸時，求直線的方程；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）當垂直于軸時，其方程為，求出點的坐標后可得直線的斜率，于是可得直線方程。（2）由于在軸上，所以只需證明點的縱坐標相等即可得到結論成立，解題時注意直線方程的設法．

（1）設點，

當垂直于軸時，可得，所以，

所以點的坐標為，

又，

所以，

所以直線的方程為．

（2）法一：

①當直線的斜率不存在時，其方程為，

若，則，此時方程為，當時，，所以，因此，所以．

若，則，此時方程為，當時，，所以，因此，所以．

綜上可得．

②當直線的斜率存在時，設，

由 消去y整理得，

其中，

設，，則，

因為，

所以直線的方程為

當時，得，

因為

．

所以，

所以．

法二：

設直線，

由消去x整理得，

其中，

設，，則，

所以，故所以．

因為，

所以直線的方程為，

當時，得，

所以，

所以．