Question

【題目】已知橢圓E：（）的離心率為，且短軸的一個端點B與兩焦點A，C組成的三角形面積為.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）若點P為橢圓E上的一點，過點P作橢圓E的切線交圓O：于不同的兩點M，N（其中M在N的右側），求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.

【解析】

（Ⅰ） 結合已知可得，求出a，b的值，即可得橢圓方程；

（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在，設出直線方程，聯立直線方程與橢圓方程，利用判別式等于0可得，聯立直線方程與圓的方程，結合根與系數的關系求得，利用弦長公式及點到直線的距離公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.

解：（Ⅰ）可得，結合，

解得，，，得橢圓方程；

（Ⅱ）易知直線的斜率k存在，設：，

由，得，

由，得，

∵，

設點O到直線：的距離為d，

，

，

由，得，

，，

∴

∴，

∴

而，，易知，∴，則，

四邊形的面積

當且僅當，即時取“”.

∴四邊形面積的最大值為4.