Question

【題目】已知函數， ．

（）求的單調區間．

（）證明：當時，方程在區間上只有一個零點．

（）設，其中若恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（）的單調減區間為，單調增區間為．（）見解析;（）．

【解析】試題分析：（）求導得，可得的單調區間.

（）設， ，由（）可知在，上單調遞增，且， ，可得證.

（）恒成立即函數的最小值為 ，利用導數可求得，

整理可得，解得.

試題解析：（）由已知，

令，

則，令，

則，

故的單調減區間為，單調增區間為．

（）設， ，

則，

由（）可知在，上單調遞增，

且， ，

∴在上只有個零點，

故當，方程在區間上只有一個零點．

（）， ， 的定義域是，

，

令，

則，

由（）得，在區間上只有一個零點，

且是增函數，不妨設的零點是，

則當時， ，

即， 單調遞減．

當時， ，

即， 單調遞增，

∴函數的最小值為 ，

由，得，

故，

根據題意，

即，解得，

故實數的取值范圍是．