Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，左頂點，離心率，為右焦點，過焦點的直線交橢圓于、兩點（不同于點）．

(1)求橢圓的方程；

(2)當的面積時，求直線PQ的方程；

(3)求的范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）或；（3）（2,6）

【解析】

試題分析：（1）設出橢圓的標準方程根據題意可a，利用離心率求得c，則b可求得，橢圓的方程可得．
（2）設出直線PQ的方程，與橢圓方程聯立，設出P，Q的坐標，進而根據韋達定理表示出和，則利用弦長公式可表示出|PQ|，進而可表示出的面積方程可得．
（3）利用向量的坐標運算，建立函數關系式，利用橢圓的范圍找到定義域，利用二次函數即可求范圍.

試題解析：（1）設橢圓方程為 (a>b>0) ，由已知

∴ 2分

∴ 橢圓方程為． 4分

（2）解法一: 橢圓右焦點． 設直線方程為（∈R）． 5分

由 得．① 6分

顯然，方程①的．設，則有． 8分

由的面積==

解得：．

∴直線PQ 方程為，即或． 10分

解法二：

． 6分

點A到直線PQ的距離 8分

由的面積= 解得．

∴直線PQ 方程為，即或． 10分

解法三： 橢圓右焦點．當直線的斜率不存在時，，不合題意． 5分

當直線的斜率存在時，設直線方程為，

由 得． ① 6分

顯然，方程①的．

設，則． 7分

=． 8分

點A到直線PQ的距離 9分

由的面積= 解得．

∴直線的方程為，即或． 10分

（3）設P的坐標（則 ∴

故

12分

∵∴的范圍為（2,6） 14分

（注：以上解答題其他解法相應給分）

考點：（1）橢圓的標準方程；（2）直線與圓錐曲線的位置關系；（3）向量的坐標運算；（4）弦長公式.