Question

下列四個命題中
①不等式

x+1

(2x-1)≥0的解集為{x|x≥

1

2

}；
②“x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要條件；
③函數y=

x2+2

+

1

x2+2

的最小值為2；
④命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1＜0”
其中真命題的為

①②

（將你認為是真命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①由符號法則得

x+1≥0 2x-1≥0

，解出x的取值范圍；
②由“x＞1且y＞2”得出“x+y＞3”是充分條件，反之不成立，是不必要條件；
③應用基本不等式a+b≥

ab

時，當且僅當a=b時，“=”成立；
④命題的否定是對命題的條件和結論一起否定．

解答：解：①∵

x+1

(2x-1)≥0，∴

x+1≥0 2x-1≥0

，∴x≥

1

2

，命題正確；
②當“x＞1且y＞2”時，“x+y＞3”成立；當“x+y＞3”時，“x＞1且y＞2”不成立；∴命題正確；
③∵y=

x2+2

+

1

x2+2

≥2，當且僅當

x2+2

=

1

x2+2

時，“=”成立，∵x∈R時，

x2+2

≠

1

x2+2

總成立，∴原命題錯誤；
④命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；∴原命題錯誤．
所以，真命題有①②
故答案為：①②．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了函數的定義域、不等式的應用以及充分必要條件等知識，是基礎題．