Question

已知函數的圖象在點（1，f（1））處得切線在y軸上的截距為3，若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是________．

Answer 1

[1，+∞）
分析：先根據圖象在點（1，f（1））處得切線在y軸上的截距為3，求得b=3-2a，再將f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，轉化為f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立，構造新函數，再進行分類討論，即可確定a的取值范圍．
解答：由題意，f（1）=2a+b∵函數
∴f′（x）=a-
∴f′（1）=0；
所以圖象在點（1，f（1））處的切線為：y=f（1）=2a+b=3∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
設g（x）=f（x）-x=（a-1）x++3-2a，
∴g′（x）=a-1- a≤0時，x²＞1，0＜＜1，∴0＜＜-a，∴a-1-＜-1＜0； 0＜a＜1時，a-1＜0，∴＜0，∴a-1-＜0；所以a＜1時，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是減函數，
∴g（x）＞0不會恒成立，不滿足題意；
把a=1代入可得：g（x）=+1＞0在（1，+∞） 上恒成立，符合條件； a＞1時，g′（x）=0 得：x=；當x＞時，g′（x）＞0；1＜x＜時，g′（x）＜0 所以g（x）_min=g）＞0即可即：（a-1）++3-2a＞0
∴ ①當1＜a≤時，上式恒成立； ②當a＞時，平方得：4a²-4a＞4a²-12a+9 即：a＞；
∴a＞時，符合題意；綜上可知：a的取值范圍是：[1，+∞），
故答案為：[1，+∞）
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查恒成立問題，解題時正確分類，利用導數確定函數的單調性是關鍵