Question

【題目】如圖，正四棱錐的底邊長為2，側(cè)棱長為，為上一點，且，點，分別為，上的點，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)知，又由相似三角形可得，

再結(jié)合面面平行的判定定理即可證明；

（2）由已知條件可推導出，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，

求出平面的法向量，利用公式即可求銳二面角的余弦值.

（1），且，

四邊形為平行四邊形，

，又平面，

平面，

，，，

，，又平面，

平面，

，平面，，

平面平面；

（2）如圖，連接，相交于點，連接，

四棱錐為正四棱錐，

，，

又，∴，且，

同理可得，∴，，兩兩垂直，

故建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，，，

，，，

令平面的法向量為，

則即

解得

取，則，，

故，

同理可得平面的一個法向量，

∴，

銳二面角的余弦值為.