Question

【題目】已知，.

(1)求曲線在點處的切線方程;

(2)當時，若關于的方程存在兩個正實數根，證明:且.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

（1）求出函數的導函數，再計算出，，即可求出切線方程；

（2）由存在兩個正實數根，整理得方程存在兩個正實數根.令利用導數研究其單調性、最值，因為有兩個零點，即，得.

因為實數，是的兩個根，所以，從而.令，，則，變形整理得.要證，則只需證，即只要證，

再構造函數即可證明.

(1)解:∵，

∴，，

∴曲線在點處的切線方程為.

(2)證明:由存在兩個正實數根，

整理得方程存在兩個正實數根.

由，知，

令，則，

當時，，在上單調遞增;

當時，，在上單調遞減.

所以.

因為有兩個零點，即，得.

因為實數，是的兩個根，

所以，從而.

令，，則，變形整理得.

要證，則只需證，即只要證，

結合對數函數的圖象可知，只需要證，兩點連線的斜率要比，兩點連線的斜率小即可.

因為，所以只要證，整理得.

令，則，

所以在上單調遞減，即，

所以成立，故成立.