Question

【題目】如圖，在底面是正方形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一點．

（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由；
（3）當二面角B﹣PC﹣D的大小為 時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD，AC交于點E，

∴PA⊥BD，AC⊥BD，

∴BD⊥平面PAC，

∵FG平面PAC，

∴BD⊥FG

或用向量方法：

解：以A為原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，設正方形ABCD的邊長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），

E（ ），F（ ），G（m，m，0）（0＜m＜ ）

=（﹣1，1，0）， =（ ）， × =﹣m+ +m﹣ +0=0，

∴BD⊥FG

（2）解：當G為EC中點，即AG= AC時，FG∥平面PBD，

理由如下：

連接PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG∥PE，

而FG平面PBD，PE平面PBD，

故FG∥平面PBD．

或用向量方法：

要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而 =（ ），由 = 可得 ，

解得l=1，m= ，

∴G（ ， ，0），∴ ，

故當AG= AC時，FG∥平面PBD

（3）解：作BH⊥PC于H，連接DH，

∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD就是二面角B﹣PC﹣D的平面角，

即∠BHD= ，

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角

連接EH，則EH⊥BD，∠BHE= ，EH⊥PC，

∴tan∠BHE= ，而BE=EC，

∴ ，∴sin∠PCA= ，∴tan∠PCA= ，

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是

或用向量方法：

設平面PBC的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，而 ， ，

∴ ，取z=1，得 =（a，0，1），同理可得平面PDC的一個法向量為 =（0，a，1），

設 ， 所成的角為β，則|cosβ|=|cos |= ，即 = ，∴ ，∴a=1

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，

∴tan∠PCA=

【解析】（1）要證：BD⊥FG，先證BD⊥平面PAC即可．（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD內的一條直線即可．（3）當二面角B﹣PC﹣D的大小為 時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出結果．這三個問題可以利用空間直角坐標系，解答（1）求數量積即可．（2）設才點的坐標，向量共線即可解答．（3）利用向量數量積求解法向量，然后轉化求出PC與底面ABCD所成角的正切值．
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關系和平面與平面之間的位置關系，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；兩個平面平行沒有交點；兩個平面相交有一條公共直線即可以解答此題．