Question

【題目】某學校為了了解全校學生“體能達標”的情況，從全校1000名學生中隨機選出40名學生，參加“體能達標”預測，并且規定“體能達標”預測成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”若該校“不合格”的人數不超過總人數的，則全校“體能達標”為“合格”；否則該校“體能達標”為“不合格”，需要重新對全校學生加強訓練現將這40名學生隨機分為甲、乙兩個組，其中甲組有24名學生，乙組有16名學生經過預測后，兩組各自將預測成績統計分析如下：甲組的平均成績為70，標準差為4；乙組的平均成績為80，標準差為6（題中所有數據的最后結果都精確到整數）.

（1）求這40名學生測試成績的平均分和標準差；

（2）假設該校學生的“體能達標”預測服從正態分布用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值.利用估計值估計：該校學生“體能達標”預測是否“合格”？

附：①個數的平均數，方差；

②若隨機變量服從正態分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）平均分為74，標準差為7.（2）該校學生“體能達標”預測合格.

【解析】

(1)根據甲組的平均成績為70,乙組的平均成績為80，根據公式可得

設甲組24名學生的測試成績分別為：，乙組16名學生的測試成績分別為：，將公式變形變形為，

分別求得和，即可根據公式解得解得和，最后整理公式得，計算并求解即可

(2)由(1)可得,,由，

得，進而得到，

求出全校學生“不合格”的人數占總人數的百分比，與進行比較即可

（1）這40名學生測試成績的平均分.

將變形為.

設第一組學生的測試成績分別為，

第二組學生的測試成績分別為，則

第一組的方差為

，

解得.

第二組的方差為

，

解得.

這40名學生的方差為

，

所以.

綜上，這40名學生測試成績的平均分為74，標準差為7.

（2）由，，得的估計值為，的估計值.

由，得，

即.所以

，

從而，在全校1000名學生中，“不合格”的有（人），

而，

故該校學生“體能達標”預測合格.