Question

【題目】已知等差數列的公差不為零，且，、、成等比數列，數列滿足

（1）求數列、的通項公式；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設等差數列的公差為，，運用等差數列的通項公式和等比數列的中項性質，解方程可得首項和公差，進而得到，可令，求得，再將換為，相減可得；

（2）原不等式轉化為，應用數學歸納法證明，注意檢驗時不等式成立，再假設時不等式成立，證明時，不等式也成立，注意運用分析法證明.

（1）等差數列的公差不為零，，可得，

、、成等比數列，可得，即，

解方程可得，則.

數列滿足，可得，

當時，由，

可得，

相減可得，則，也適合，則，；

（2）證明：不等式即為

，

下面應用數學歸納法證明.

（i）當時，不等式的左邊為，右邊為，左邊右邊，不等式成立；

（ii）假設時，不等式成立，

當時，，

要證，

只要證，

即證，

即證，

由，可得上式成立，可得時，不等式也成立.

綜上可得，對一切，，

故.