Question

【題目】已知0＜x＜1，0＜y＜1， 求證 + + + ≥2 ，并求使等號(hào)成立的條件．

Answer 1

【答案】證明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，設(shè)P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如圖： 則|PO|= ，|PA|= ，|PB|= ，|PC|= ，
∵|PO|+|PB|≥|BO|= ，|PA|+|PC|≥|AC|=
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2 （當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為正方形的對(duì)角線AC與OB的交點(diǎn)是取等號(hào)），
即x=y= 時(shí)取等號(hào)．
∴ + + + ．

【解析】依題意，作圖如下，利用兩點(diǎn)間的距離公式可知|PO|= ，|PA|= ，|PB|= ，|PC|= ，利用三角不等式可證|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二維形式的柯西不等式的相關(guān)知識(shí)，掌握二維形式的柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．