Question

【題目】已知直線方程為，其中.

（1）求證：直線恒過定點；

（2）當變化時，求點到直線的距離的最大值及此時的直線方程；

（3）若直線分別與軸軸的負半軸交于兩點，求面積的最小值及此時的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）距離的最大值：，直線方程：（3）面積的最小值為，直線的方程為.

【解析】

（1）直線的方程化為：，令，解出即可得出直線經過定點．

（2）設定點為,當變化時，直線時，點到直線的距離的最大，此時直線與垂直，可求直線方程．

（3）直線的斜率存在且，因此可設直線的方程為，求出直線在軸、軸的截距．可得的面積，利用基本不等式的性質即可得出結果．

（1）直線方程為，

可化為對任意都成立，

所以，解得，

所以直線恒過定點.

（2）設定點為

當變化時，直線時，

點到直線的距離最大，可知點與定點的連線的距離就是所求最大值，

即，

此時直線過點且與垂直，

∴，解得

故直線的方程為.

（3）由于直線經過定點．直線的斜率存在且，

因此可設直線方程為

可得與軸、軸的負半軸交于，兩點

∴，，解得．

∴

當且僅當時取等號，面積的最小值為4

此時直線的方程為：，化為：．