Question

【題目】已知函數.

（1）若，試判斷的符號；

（2）討論的零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）當或時，有個零點；當且時，有個零點

【解析】

（1）首先計算得到，設，利用二次求導，判斷函數的單調性，和比較大小；

（2）首先求函數的導數，討論，兩種情況討論函數的單調性，判斷函數的零點個數，當時，，

設，再次求函數的導數，判斷函數的單調性和最小值，討論求函數的零點個數.

解：（1）.

設，則.

設，則，

∴當時，；當時，.

∴當時，.故，從而.

∴在上單調遞增.

∴當時，，從而；

當時，，從而；

當時，，從而.

（2）的定義域為，.

∴當時，，故在上單調遞增，

又，∴有個零點.

當時，令，得；令，得.

∴在上上單調遞減，在上單調遞增.

∴.

設，則.

∴當時，；當時，.∴.

∴當時，，即，

又當時，；當時，；故有個零點.

當時，，故有個零點.

當時，，即，

又當時，；由（1）知，故有個零點.

當或時，有個零點；當且時，有個零點.