Question

【題目】設橢圓：，為左、右焦點，為短軸端點，且，離心率為,為坐標原點．

（1）求橢圓的方程，

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點,,且滿足？若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得方程2cb＝4，e，且a2＝b2+c2；從而聯立解出橢圓C的方程為1；

（2）假設存在圓心在原點的圓x2+y2＝r2，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點M、N，則可得0；再設M（x1，y1），N（x2，y2），當切線斜率存在時，設該圓的切線的方程為y＝kx+m，與橢圓聯立，利用韋達定理及條件可得3m2﹣8k2﹣8＝0，代入△從而可解得m的范圍，進而解出所求圓的方程，再驗證當切線的斜率不存在時也成立即可．

（1））∵橢圓C：1（a＞b＞0），

由題意可得，

2cb＝4，e，且a2＝b2+c2；

聯立解得，；

故橢圓C的方程為1；

（2）假設存在圓心在原點的圓x2+y2＝r2，

使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點M、N，

∵||＝||，

∴0；

設M（x1，y1），N（x2，y2），

當切線斜率存在時，設該圓的切線的方程為y＝kx+m，

解方程組得，

（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，

則△＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0；

即8k2﹣m2+4＞0；

∴x1+x2，x1x2；

y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2；

要使0，

故x1x2+y1y2＝0；

即0；

所以3m2﹣8k2﹣8＝0，

所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；

解得m或m；

因為直線y＝kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，

所以圓的半徑為r，r2；

故r；

即所求圓的方程為x2+y2；

此時圓的切線y＝kx+m都滿足m或m；

而當切線的斜率不存在時切線為x＝±與橢圓1的兩個交點為（，±），（，±）；

滿足0，

綜上所述，存在圓心在原點的圓x2+y2滿足條件．