Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的極大值.

（2）當時，證明函數有且只有一個零點.

Answer 1

【答案】(1) 當或時, 無極大值；

當時的極大值為.

當時的極大值為

【解析】

(1)求導得,再討論與1的關系判定即可.

(2)根據函數的單調性以及極大值,結合單調性即可轉證,有解.參變分離可得,再分析的單調性求出值域即可判定有唯一解即可.

(1) .令可得.

①當時,易得,故當時,；當時,.

故在上單調遞減,在上單調遞增,此時無極大值.

②當時, 當時, ；當時,與.

故在上單調遞減,在,上單調遞增.故函數的極大值為.

③當時, 恒成立. 此時無極大值.

④當時, 當時, ；當時,與.

故在上單調遞減,在,上單調遞增.故函數的極大值為.

綜上所述, 當或時, 無極大值；

當時的極大值為.

當時的極大值為

(2)由(1),當時,在上單調遞減,在,上單調遞增.

且極大值為.故當時,.故在無零點.

又因為在上單調遞增,故要證明函數有且只有一個零點,即證明,有解即可.

參變分離有,令,

則.

因為,故考慮的正負.

又,.

故為增函數.

又,故,即.

故,故為增函數.故.

故.故當時恒有解.

即有且僅有一根.得證.